Produit cartésien

Définition

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides.
Le produit cartésien de \(A\) par \(B\) est l'ensemble de couples `(a,b)` , où `a\inA`  et   `b\inB` .
On note cet ensemble :  \(A×B\) et on le lit : « \(A\) croix \(B\) ».

Exemple

L'ensemble des couples de coordonnées de points du plan dans un repère  est noté \(\left\{ \left(x,y\right)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\right\}\) . On note cet ensemble \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{2}\) .

Propriété

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides.
Lorsque les ensembles \(A\)  et \(B\)  sont finis, on a : \(\text{Card}(A×B)=\text{Card}(A) × \text{Card}(B)\) .

Exemple

Soit \(A = \{ \text A, \text R, \text D, \text V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 \}\) et \(B = \{\text{pique}, \text{cœur}, \text{carreau}, \text{trèfle} \}\) .
Alors le produit cartésien de \(A\) par \(B\) contient \(52\) éléments :
\(A×B = \{ (\text A, \text{pique}), (\text R, \text{pique}), ... (2, \text{pique}), (A, \text{cœur}), ... (3, \text{trèfle}), (2, \text{trèfle}) \}\) .

Définition

Soit \(n\)   un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) .

Soit  \(n\) ensembles non vides \(E_1, E_2, ..., E_n\) .

• Toute liste ordonnée \((x_1,x_2,...,x_n)\) ,  avec  \(x_i \in E_i\) pour \(i\) allant de \(1\) à \(n\) , est appelée  \(n\) -uplet  (ou \(n\) -liste ).
  
• L'ensemble de ces \(n\) -uplets est le produit cartésien \(E_1\times E_2\times ...\times E_n\) .
  

Exemple

L'ensemble des coordonnées de points dans un repère de l'espace  est noté   \(\left\{ \left(x,y,z\right)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R},z\in\mathbb{R}\right\}\) . On note cet ensemble   \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{3}\) .

Propriété

Soit \(n\)   un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) .
Soit \(n\) ensembles non vides \(E_1, E_2, ..., E_n\) .
Lorsque les ensembles \(E_1, E_2,...,E_n\) sont finis, on a :
\(\text{Card}(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n)=\text{Card}(E_1)\times \text{Card}(E_2)\times ...\times \text{Card}(E_n)\) .

Remarques

• Un 2-uplet est un couple.
  
• Un 3-uplet est un triplet.
  
• Pour \(A\) un ensemble non vide, on peut considérer des \(n\) -uplets d'éléments de \(A\) .
  L'ensemble  \(A×A×A×...×A\) , où l'ensemble \(A\) apparaît \(n\) fois, se note aussi  \(A^n\) .